停课不停学，精选两道中考数学最值问题压轴题，学霸们敢挑战吗？

为响应教育部、学校的“停课不停学”要求，这里精选两道中考数学压轴题之二次函数中的最值问题，供想成为学霸的同学参考复习！

例题1、 如图1，抛物线的顶点A的坐标为（1，4），抛物线与x轴相交于B、C两点，与y轴交于点E（0，3）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）已知点F（0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G，使得EG+FG最小，如果存在，求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，连接AB，若点P是线段OE上的一动点，过点P作线段AB的垂线，分别与线段AB、抛物线相交于点M、N（点M、N都在抛物线对称轴的右侧），当MN最大时，求△PON的面积．

分析

（1）利用待定系数法，设出抛物线的顶点式，再代入E点的坐标，即可求出二次项的系数a的值，从而求出抛物线的解析式；

（2） 存在，如图1， 作E关于对称轴的对称点E'，连接E'F交对称轴于G，此时EG+FG的值最小． 根据对称性，由E点的坐标得出E'点的坐标，利用待定系数法求出直线E'F的解析式，然后将x=1代入直线E'F的解析式即可算出对应的函数值，从而求出G点的坐标；

（3）利用待定系数法求出直线AB的解析式， 过N作NH⊥x轴于H，交AB于Q， 根据抛物线上点的坐标特点直线上的点的坐标特点，以及平行于y轴的直线上的点的坐标特点，用同一个字母表示出N,Q两点的坐标，进而表示出NQ的长，然后判断出 △QMN∽△ADB， 根据相似三角形对应边成比例得出QN：NM=AB：BD ， 根据比例式即可建立出关于MN长度的解析式，根据所得函数解析式即可得出答案 当m＝2时，MN有最大值； 过N作NG⊥y轴于G， 然后判断出 △NGP∽△ADB， 根据相似三角形对应边成比例表示出PG的长，进而根据 OP＝OG﹣PG 表示出OP的长，根据 S△PON=OPGN÷2即可算出答案。

参考答案

【考点点评】

待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的三种形式，轴对称的应用-最短距离问题，相似三角形的判定与性质，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的实际应用-动态几何问题。

例题2、 如图1，抛物线y=-3/16x 平移后过点A（8，,0）和原点，顶点为B，对称轴与 x轴相交于点C，与原抛物线相交于点D．

（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S ；

（2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点， ∠PMN 为直角，边MN与AP相交于点N，设OM=t ，试探求：

① t为何值时△MAN 为等腰三角形；

② t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．

【分析】

（1）平移前后的两个二次函数的a的值相等，平移后的图像经过点原点，因此设函数解析式为：y=-3/16x+bx  ， 将点A的坐标代入就可求出b的值，再求出顶点B的坐标，利用割补法可得出阴影部分的面积=以OC，BC为边的矩形的面积。

（2）利用待定系数法先求出直线AB的函数解析式，作NQ垂直于x轴于点Q，再分情况讨论：当MN＝AN时， 就可表示出点N的坐标，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立关于t的方程，求出t的值；当AM＝AN时再由△ANQ和△APO相似，△NQM和△MOP相似，得出对应边成比例，分别求出t的值，然后根据当MN＝MA时， ∠ MNA=∠ MAN < 45 ° 故 ∠ AMN 是钝角，可得出符合题意的t的值；②将直线MN和直线AB联立方程组，可得出点N的横坐标，结合根的判别式可求出xN≥6或xN≤﹣14，然后由0＜xN＜8，就可求得结果。

参考答案

【考点点评】

二次函数图像的几何变换，相似三角形的判定与性质，二次函数图像与一元二次方程的综合应用  。